【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了?，我调整一下，过会儿再看】

硬核程度：☆☆☆☆☆

涉及领域：计算理论

大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？

可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。

以下开始：

首先，什么是可计算？

可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。

为了方便描述，先行约定一下数学符号。

假设我们有一个乘法器，叫做t，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。

比如，输入(3，)输出12

输入(6，2)输出12

输入(0，6)输出0

这时，我们把这些输入数对叫做da，输出的一个数叫做da。如果我们用z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：

t:z2→z

中间的这个→表示这个t是一个ttal ftin，也许可以称作“全函数”吧，意思是每一个da里的输入，都能对应一个da里的输出。

与全函数相对应的是，是“偏函数”。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它(6，0)时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：

div:z2—z

这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）

好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。

后继函数：sn→n，sx)=x+1，n代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出。总之就是往上+1

零函数：zer:nn→n，zer=0。不管给它什么，它都输出0

投影函数：prjn:nn→n，prj(x1，，xn)=xi。它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。比如，prj22(1，3)=3。

好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。

我们定义一个叫“组合”的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：

f:nn—n

具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数(x1，，x)，那么组合n个g函数的操作可以被表示为：

f·[g1，，gn]:n—n

展开为：

f·[g1，，gn](x1，，x)=f(g1(x1，，x)，，gn(x1，，x))

举个栗子：

我们构造一个函数ne，ne(x)=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：

ne(x)=s0)=szer(x))

即：s[zer]=ne

验证一下：

s[zer](x)=szer(x))=s0)=1